Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.


PIC


Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD . Punkty E i F są środkami boków BC i AB . Uzasadnij, że odcinki DE i CF są prostopadłe.


PIC


Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.


PIC


*Ukryj

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty L i N są środkami odcinków – odpowiednio – BE i ED . Punkty K i M leżą na przekątnej BD tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.


PIC


Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.

Prosta przechodząca przez wierzchołek C kwadratu ABCD przecina przedłużenia jego boków AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że

--1---+ --1---= --1---. |CL |2 |CK |2 |AB |2

Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że wyrażenie |PA |2 + |P B|2 + |PC |2 + |PD |2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu P .

Na bokach AD , AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że |LK |+ |LM | = |AC | .


PIC


Wykaż, że stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia wpisanego w ten kwadrat jest równy √ -- 2 .

*Ukryj

Wykaż, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwadrat do długości promienia okręgu opisanego na kwadracie jest równy √- -2- 2 .

Bok EF kwadratu EF GH zawiera się w przekątnej BD kwadratu ABCD , a punkt C należy do odcinka GH . Odcinki FG i BC przecinają się w punkcie K , a odcinki EH i CD przecinają się w punkcie L . Wykaż, że |BK-|= |HL-| |KC | |LE| .


PIC


*Ukryj

Bok EF kwadratu EF GH zawiera się w przekątnej BD kwadratu ABCD , a punkt C jest środkiem odcinka GH . Odcinki FG i BC przecinają się w punkcie K . Wykaż, że |BK | = |CK | .


PIC


Wykaż, że stosunek pola kwadratu wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszy od 23 .

*Ukryj

Wykaż, że stosunek pola kwadratu opisanego na kole do pola tego koła jest mniejszy od 43 .

Pole kwadratu ABCD jest równe 16. Punkt E jest środkiem boku BC , a punkt S punktem przecięcia przekątnej BD kwadratu i odcinka AE . Wykaż, że odległość punktu S od boku AB jest równa 43 .

Na boku DC kwadratu ABCD obrano punkt K tak, że |DK | = |KC | . Przekątna AC kwadratu przecina odcinek BK w punkcie P . Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP .


PIC


Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że |PB |2 − |PA |2 = |PC |2 − |P D|2 .


PIC


Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty E i G należą do odcinków AD i CD odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt F . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy  √ -- 8 − 4 2 .


PIC


Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .


PIC


Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że proste DF i CE są prostopadłe.


PIC