Udowodnij/Kwadrat/Czworokąt - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Udowodnij

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD . Punkty i są środkami boków i . Uzasadnij, że odcinki i są prostopadłe.

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

Prosta przechodząca przez wierzchołek kwadratu ABCD przecina przedłużenia jego boków i odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek).

Wykaż, że

--1---+ --1---= --1---. |CL |2 |CK |2 |AB |2

Punkt należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że wyrażenie |PA |2 + |P B|2 + |PC |2 + |PD |2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu .

Na bokach AD , AB i kwadratu ABCD wybrano punkty K , L i w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że |LK |+ |LM | = |AC | .

Prosta przechodząca przez środek kwadratu ABCD przecina proste zawierające jego boki i odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek).

Wykaż, że

--1---+ --1---= ---4--. |SL |2 |SK |2 |AB |2

Wykaż, że stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia wpisanego w ten kwadrat jest równy √ -- 2 .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwadrat do długości promienia okręgu opisanego na kwadracie jest równy √- -2- 2 .

Bok kwadratu EF GH zawiera się w przekątnej kwadratu ABCD , a punkt należy do odcinka . Odcinki i przecinają się w punkcie , a odcinki i przecinają się w punkcie . Wykaż, że |BK-|= |HL-| |KC | |LE| .

Ukryj Podobne zadania

Bok kwadratu EF GH zawiera się w przekątnej kwadratu ABCD , a punkt jest środkiem odcinka . Odcinki i przecinają się w punkcie . Wykaż, że |BK | = |CK | .

Wykaż, że stosunek pola kwadratu wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszy od .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że stosunek pola kwadratu opisanego na kole do pola tego koła jest mniejszy od .

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 3. Punkty i leżą na prostych – odpowiednio – i tak, że √ -- |BK | = 2 3 i |BL | = 2 (zobacz rysunek). Odcinek przecina przekątną tego kwadratu w punkcie .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |MD | = 6 .

Pole kwadratu ABCD jest równe 16. Punkt jest środkiem boku , a punkt punktem przecięcia przekątnej kwadratu i odcinka . Wykaż, że odległość punktu od boku jest równa .

Punkt leży na boku kwadratu ABCD oraz 2 |CL | = 3|LB | . Punkt leży na przekątnej i odcinek jest prostopadły do (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CK | = 14|AK | .

Na boku kwadratu ABCD obrano punkt tak, że |DK | = |KC | . Przekątna kwadratu przecina odcinek w punkcie . Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP .

Punkt należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że |PB |2 − |PA |2 = |PC |2 − |P D|2 .

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy √ -- 8 − 4 2 .