Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Wyszukiwanie zadań

Punkt L leży na boku BC kwadratu ABCD oraz 2 |CL | = 3|LB | . Punkt K leży na przekątnej AC i odcinek KL jest prostopadły do AC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |CK | = 14|AK | .

W trapezie prostokątnym ABCD (rysunek) punkt K jest punktem przecięcia wysokości DE i przekątnej AC tego trapezu. Wiedząc, że |CB | = |CD | = a i |AB | = b wykaż, że pole P czworokąta EBCK jest równe P = 2a2b−a-3 2b .

PIC

W równoległoboku ABCD przekątna DB ma długość 7. Wiedząc, że obwód równoległoboku wynosi 26, |∡ABC | = 12 0∘ , oblicz długości boków równoległoboku.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości a . Punkt E jest środkiem boku CD . Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEF G (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pola figur AGF oraz CEF G .

W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary ∘ 30 i 6 0∘ , a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości a i b , gdzie a > b . Z wierzchołka kąta rozwartego trapezu poprowadzono wysokość. Uzasadnij, że wysokość ta dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach a−b- 2 i a+b- 2 .

W trapez prostokątny ABCD wpisano okrąg, przy czym punkt S jest środkiem tego okręgu, a punkt T jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem BC . Oblicz pole tego trapezu, jeśli |SC | = 10 i |BT | = 8√ 5- .

ZINFO-FIGURE

Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej.

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym ABCD . Kąt SBC jest dwa razy większy od kąta BAS , a kąt SCD jest dwa razy większy od kąta DAS . Oblicz kąty trapezu ABCD .

PIC

Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 7 cm, a jeden z boków ma długość √ -- 3 2 cm.

W czworokącie ABCD o obwodzie 24 dane są ∘ |∡ABC | = 120 oraz √ -- |BD | = 4 3 . Wiedząc, że środek przekątnej BD jest środkiem symetrii tego czworokąta oblicz jego pole.

Na boku DC kwadratu ABCD obrano punkt K tak, że |DK | = |KC | . Przekątna AC kwadratu przecina odcinek BK w punkcie P . Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP .

PIC

Trapez równoramienny ABCD jest opisany na okręgu o promieniu r . Przekątna trapezu tworzy z dłuższą podstawą kąt α . Wyznacz obwód tego trapezu.

Na bokach AB i BC prostokąta ABCD wybrano punkty K i L w ten sposób, że trójkąt DKL jest ostrokątny oraz |∡KDL | = α . Odcinek DM jest wysokością trójkąta DKL .

PIC

Wykaż, że |∡AMC | = 90 ∘ + α .

Podstawy trapezu mają długości 9 i 12. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.

Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD . Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że |CK-|= 2 |KB | 3 .

  • Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
  • Oblicz cosinus kąta CBD .

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r .

  • Wykaż, że |AB |+ |CD | ≥ 4r .
  • Wiedząc, że pole trapezu jest równe 4 wykaż, że r ≤ 1 .

Na rysunku przedstawiono prostokąt ABDE i trójkąt ABC . Punkty K i L dzielą odcinki AC i BC na połowy. Uzasadnij, że pole prostokąta ABDE jest równe polu trójkąta ABC .

PIC

Strona 17 z 23