Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi

Wyszukiwanie zadań

Zbadaj, czy ciąg 3n−1- an = 2 jest arytmetyczny.

Ukryj Podobne zadania

Zbadaj, czy ciąg 2 an = n + 1 jest arytmetyczny.

Zbadaj, czy ciąg √ -- 1 an = 3 − 3 jest arytmetyczny.

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich iloczyn k > 1 początkowych wyrazów ciągu jest równy ∘ --------- (a1 ⋅ak)k .

Iloczyn pierwszego i piątego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego (an) jest równy 160, a przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz piąty otrzymujemy 2 i resztę jeden. Wyznacz różnicę tego ciągu.

Ukryj Podobne zadania

Iloczyn pierwszego i czwartego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego (an) jest równy 253, a przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz piąty otrzymujemy 2 i resztę pięć. Wyznacz różnicę tego ciągu.

Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym 2n2−-3n+-1 an = 2n− 1 .

  • Uzasadnij, że wszystkie wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi.
  • Który wyraz jest równy 5?
  • Różnica sześcianów dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an) wynosi (− 1261) . Wyznacz te wyrazy.

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a ,b ,c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny to a = b = c .

Wyznacz iloraz niezerowego ciągu geometrycznego, w którym suma 10 początkowych wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych 5 wyrazów.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 11−n x + y = 2 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Wykaż, że jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym, to ciąg (bn) o wyrazie ogólnym określonym wzorem bn = 5a2n też jest ciągiem geometrycznym.

Ukryj Podobne zadania

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym. Wykaz, że ciąg (bn) określony wzorem bn = an + an +1 jest również ciągiem geometrycznym.

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Ukryj Podobne zadania

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Wiadomo, że liczby 2a 3 + 3 , 3a+1 3 , --4--- 8⋅3a+3 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz a . Dla wyznaczonej wartości a zapisz wzór tego ciągu i oblicz sumę jego wszystkich wyrazów.

Funkcje 2 f(x) = − 2x − 2 , 2 2 g(x) = x + 2ax+ a + 1 i 2 2 h(x) = 4x + b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x , liczby f(x) , g (x) i h(x) tworzą (w pewnej kolejności) ciąg geometryczny. Wyznacz możliwe ilorazy tego ciągu.

Ukryj Podobne zadania

Funkcje 2 f(x) = − 4x − 8 , 2 2 g(x) = 2x + 4ax + 2a + 4 i 2 2 h(x ) = 8x + 4b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x , wartości funkcji f(x) , g (x ) i h(x) tworzą w pewnej kolejności trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

W dziewięciowyrazowym ciągu arytmetycznym, o pierwszym wyrazie równym 4, wyraz pierwszy, trzeci i siódmy tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę wyrazów tego ciągu arytmetycznego

Obroty pewnej firmy w pierwszych trzech kwartałach 2007 roku utworzyły ciąg geometryczny, a w ciągu ostatnich trzech kwartałów ciąg arytmetyczny. W drugim kwartale obroty firmy wynosiły 15 000 zł, a w czwartym 22 500 zł. Oblicz średnie miesięczne obroty firmy.

Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a liczby a + 1,b + 2,c + 6 – trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź liczby a,b,c wiedząc, że ich suma jest równa 12.

Ukryj Podobne zadania

Liczby a,b,c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a− 2,b,2c + 1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c .

Suma wyrazów trzywyrazowego ciągu arytmetycznego (a,b,c) jest równa 36. Ciąg

(a− 1,b+ 2,c+ 12)

jest geometryczny. Oblicz a,b i c .

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 45. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o 3 to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Liczby a,b,c , spełniające warunek 3a + b + 3c = 77 , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a,b + 1,2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Ciąg (a ,b,c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 33 . Ciąg (a,b+ 3,c+ 13) jest geometryczny. Oblicz a,b i c .

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 60. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o cztery, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Trzy liczby, których suma jest równa 45, tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli drugą liczbę powiększymy o 3, a trzecią liczbę powiększymy o 9, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Ciąg liczbowy (a,b,c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 36 , natomiast ciąg (a − 2,b + 4,c + 18) jest geometryczny. Oblicz a,b ,c .

Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 10. Jeśli od pierwszej odejmiemy 2, drugą pozostawimy bez zmian, a do trzeciej dodamy 7, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Ciąg (a ,b,c) jest ciągiem arytmetycznym. Suma jego wyrazów jest równa 18. Jeżeli pierwszą z liczb zmniejszymy o 25%, a trzecią zwiększymy o 50%, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz liczby a,b,c .

Trzy liczby a,b,c których suma jest równa 15, tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z tych liczb dodać 2, od drugiej odjąć 1, a trzecią podzielić przez 2, to tak otrzymane liczby (w tej kolejności) utworzą ciąg geometryczny malejący. Wyznacz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 8. Jeśli od pierwszej odejmiemy 1, drugą pozostawimy bez zmian, a do trzeciej dodamy 5, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Trzy liczby ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 15. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Ciąg liczbowy (a,b,c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 33 , natomiast ciąg (a − 1,b + 5,c + 19) jest geometryczny. Oblicz a,b ,c .

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 15. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 30. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o dwa to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

O liczbach a ,b ,c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+ c = 10 , zaś ciąg (a+ 1,b+ 4,c+ 19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Dany jest ciąg an o wyrazie ogólnym ( 3−p) 2n−3 an = 3+p- .

  • Udowodnij, że ciąg an jest ciągiem geometrycznym.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu an . Oblicz tę sumę.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których ciąg an jest malejący.

Wyznacz drugi, trzeci i czwarty wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:

{ a1 = 35 a = 5an − 3. n+ 1

Dla wyznaczonych wyrazów znajdź taką liczbę x , aby ciąg (a3,x,a4) był ciągiem geometrycznym.

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jeśli a1 = 5 oraz a2 − a1 = 6 .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) , jeśli a5 = 1 2,a6 = 9 .

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) , jeśli a2 − a1 = − 4 oraz a3 = 4,5 .

Ciąg (an) określony jest wzorem 2 an = 2n − 3n + 4 .

  • Trzeci i piąty wyraz ciągu (an) są odpowiednio równe szóstemu i dziewiętnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego (bn ) . Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (b ) n należy dodać, aby otrzymana suma była nie mniejsza od 483?
  • Piąty oraz trzeci wyraz ciągu (an) są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrazowi nieskończonego ciągu geometrycznego (cn) . Który wyraz ciągu c n jest równy 13 9 ?
Ukryj Podobne zadania

Trzy liczby, których suma jest równa 105, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 45, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Trzy liczby, których suma jest równa 52, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 16, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Ciąg (a ,b,c) jest geometryczny, ciąg (a + 1,b + 5,c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a+ b+ c = 39 . Oblicz a ,b,c .

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(4a,3b,c + 12)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 36 . Oblicz a,b oraz c .

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2a ,2b ,c+ 1 )

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 6 . Oblicz a ,b oraz c .

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 12, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby b ,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma pierwszej trójki liczb wynosi 12, a drugiej 19. Wyznacz liczby a,b,c,d .

Strona 15 z 25