Geometria analityczna/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami f (x) = x2 oraz ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Ukryj Podobne zadania

Funkcje oraz są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Dane są dwa wierzchołki A = (3,8) i B = (− 2,− 2) prostokąta ABCD oraz punkt ( ) E = 6, 32 leżący na prostej . Wyznacz współrzędne wierzchołków i tego prostokąta.

Oblicz obwód czworokąta o wierzchołkach: A = (−2 ,1),B = (1,− 5),C = (4,1),D = (1 ,3 ) .

Dane są proste o równaniach l : 4x+ 2y − 5 = 0,k : mx + 3y + 1 = 0 . Wyznacz parametr , tak aby te proste były prostopadłe.

W układzie współrzędnych dany jest punkt A = (9,4) . Na okręgu o równaniu (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7 wyznacz współrzędne punktu , dla którego odległość |AB | jest największa.

Punkt A = (− 6,1) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , a punkt jest środkiem odcinka . Równania prostych , oraz symetralnej boku to odpowiednio y = 12x + 4 , y = − 74x − 5 i y = x + 11 . Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka .

Punkty A = (20,2 1) i ( 40 ) B = − 3 ,− 4 są końcami przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC . Punkt S = (− 5,− 4) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz pole trójkąta ABC .

Wykaż, że punkt A (1,3) leży na dwusiecznej kąta między prostymi 3x + 4y − 1 = 0 i 4x + 3y + 1 = 0 . Napisz równanie tej dwusiecznej.

Dany jest punkt A = (− 18,10) . Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka . Wyznacz współrzędne punktu .

Ukryj Podobne zadania

Prosta o równaniu y = − 3x + 4 jest symetralną odcinka P Q , gdzie P = (6,1) . Oblicz współrzędne punktu .

Prosta o równaniu y = − 2x + 7 jest symetralną odcinka P Q , gdzie P = (4,5) . Oblicz współrzędne punktu .

Dany jest punkt A = (24,11) . Prosta o równaniu y = − 4x jest symetralną odcinka . Wyznacz współrzędne punktu .

Dana jest funkcja y = − 3x + 3 . Podaj równanie prostej prostopadłej i prostej równoległej do danej prostej, do których należy punkt (2,5) . Wykonaj rysunek do zadania.

Ukryj Podobne zadania

Dana jest funkcja 1 y = 4x + 2 . Podaj równanie prostej prostopadłej i prostej równoległej do danej prostej, do których należy punkt (2 ,−4 ) . Wykonaj rysunek do zadania.

Dane są punkty A = (1,1), B = (9,5), C = (5,8) .

Wyznacz punkt tak, aby czworokąt był trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku jest prosty.
Czy w ten trapez można wpisać okrąg?

Dwa boki trójkąta równoramiennego są zawarte w osiach układu współrzędnych, a prosta zawierająca trzeci bok tego trójkąta jest styczna do paraboli o równaniu y = 12x2 + 3x + 112 . Oblicz pole tego trójkąta. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wyznacz taki punkt na prostej 2x + y − 1 = 0 , by suma kwadratów jego odległości od osi układu była najmniejsza.

Prosta przechodzi przez punkty A (− 2,− 3) i B(1,4) . Wyznacz równania prostej prostopadłej do i prostej równoległej do , jeżeli każda z nich przechodzi przez punkt C (2,− 1) .

Punkty A = (− 5,2) i B = (4,− 3) są wierzchołkami trójkąta ABC , a wysokości opuszczone z wierzchołków i tego trójkąta zawierają się odpowiednio w prostych o równaniach x + 4y − 3 = 0 oraz 12x + 7y− 27 = 0 . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Ukryj Podobne zadania

Punkty A = (− 3,− 1) i B = (3,5) są wierzchołkami trójkąta ABC , a jego wysokości przecinają się w punkcie D = (1,1) . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Dane są punkty A = (1,3),B = (−4 ,−2 ) . Wyznacz taki punkt C = (x ,y) , gdzie x ∈ (−1 ,2) leżący na paraboli o równaniu y = x2 , aby pole trójkąta ABC było największe.

Okrąg ma środek i jest styczny prostej y = − 2x + 4 w punkcie A = (1,2) . Wyznacz równanie okręgu , jeżeli −→ OA = [2,1] .

Dany jest ciąg xn = − 1 − n dla n ≥ 1 . Ciąg (yn) ma tę własność, że dla każdego n ≥ 1 punkty o współrzędnych (xn,0),(− 1,1),(0,yn) leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu (yn ) .

Wyznacz wartość parametru , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki i równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.