Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Wyszukiwanie zadań

Wierzchołki A i B kwadratu ABCD leżą na paraboli 2 y = x − 6x + 19 , przy czym odcinek AB jest równoległy do osi Ox . Wykaż, że jeżeli odległość punktu A od osi Ox jest liczbą całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.

Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne paraboli y = x2 − 5x+ 6 i prostej x − y + 1 = 0 , a którego środek należy do prostej o równaniu 7x + 3y − 9 = 0 .

Punkty √ --- A = (4,10 − 2 1) i √ --- B = (8,1 0+ 2 1) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC , o kącie prostym przy wierzchołku C . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, wiedząc, że leży on na paraboli o równaniu y = x2 − 12x + 3 3 .

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli 2 y = −x + 6x . Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Wszystkie wierzchołki trapezu ABCD (AB ∥ CD i |AB | > |CD | ) leżą na paraboli o równaniu y = 3− 13x2 . Wierzchołki A i B są punktami przecięcia tej paraboli z osią Ox . Oblicz współrzędne wierzchołka trapezu o obu współrzędnych dodatnich, dla którego pole trapezu jest równe 25 3 .

Dane są parabola o równaniu 2 y = x oraz punkty A = (0,2) i B = (1,3) (zobacz rysunek).

PIC

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C .

  • Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m .
  • Wyznacz wszystkie wartości m , dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.
Ukryj Podobne zadania

Dane są parabola o równaniu 1 2 y = 2x oraz punkty A = (− 2,6) i B = (0,4) (zobacz rysunek).

PIC

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C .

  • Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m .
  • Wyznacz wszystkie wartości m , dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Prosta k o równaniu x + y − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 14x2 − 32x + 14 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Prosta k o równaniu x + y + 8 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 14x2 − 52x − 54 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą ujemną; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą dodatnią. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji f(x) = 3x − 4 i funkcji g(x) = x 2 − 5x + 8 .

Jeden z końców odcinka leży na paraboli 2 y = x , a drugi na prostej o równaniu y = 2x− 6 . Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od √ -- 5 . Sporządź odpowiedni rysunek.

Udowodnij, że każdy punkt paraboli o równaniu 1 2 y = 4x + 1 jest równoodległy od osi Ox i od punktu F = (0,2) .

Ukryj Podobne zadania

Dana jest parabola o równaniu 1 2 y = 4x i punkt F (0,1) . Wykaż, że każdy punkt leżący na paraboli jest równo oddalony od punktu F i prostej l o równaniu y = − 1 .

Punkty przecięcia paraboli 2 y = x − 2x − 8 z prostą 2x + y − 1 = 0 są końcami przekątnej rombu, którego pole wynosi 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.

Każdy z wierzchołków trójkąta prostokątnego ABC leży na na wykresie funkcji y = x2 − 5x + 6 . Bok BC tego trójkąta jest zawarty w prostej y = 3x− 6 , a wierzchołek C kąta prostego ma obie współrzędne dodatnie. Oblicz pole trójkąta ABC .

Rozważmy cięciwy AB paraboli 2 y = x + 4x + 3 przechodzące przez punkt (1,0) , przy czym przez cięciwę AB rozumiemy prostą przecinającą tę parabolę w dwóch punktach A i B . Wyznacz współrzędne punktów A i B , dla których suma współrzędnych środka odcinka AB cięciwy AB jest równa − 2 .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta o równaniu 3x + y + 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = x2 − 2x − 8 w punktach A oraz B , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu 1 y = − 2 x+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa √ -- 9-10- 5 . Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x2 − 7x + 1 w punktach A oraz B . Odcinek AB jest średnicą okręgu O . Punkt C leży na okręgu O nad prostą l , a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α = 1 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz współrzędne punktu C .

Ukryj Podobne zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta l o równaniu x − y + 4 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 4x2 − 15x − 11 w punktach A oraz B . Odcinek AB jest średnicą okręgu O . Punkt C leży na okręgu O poniżej prostej l , a kąt ABC jest ostry i ma miarę α taką, że 1 tg α = 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz współrzędne punktu C .