Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecina boki CA i CB odpowiednio w punktach E i D .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .


PIC


Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 4 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 3− 1 .


PIC


*Ukryj

Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 2 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 5− 1 .


PIC


Dany jest trójkąt ABC . Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.


PIC


*Ukryj

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D w ten sposób, że odległości punktów A i B od prostej CD są równe (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ADC i BDC mają równe pola.


PIC


Pole trójkąta ABC jest równe S , a długości jego boków AC i BC są odpowiednio równe b i a . Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio D i E .


PIC


Wykaż, że

 2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2

Dane są dwa trójkąty: ABC oraz  ′ ′ ′ A B C takie, że  ′ α = α oraz  ′ β + β = 180 .


PIC


Wykaż, że:

 ′ ′ |AC--|= |A-C-|. |BC | |B′C′|

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC . Punkt S jest środkiem odcinka BD . Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2a 3 .

*Ukryj

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt D na jego boku AB taki, że  2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BE do boku AC . Punkt P jest punktem wspólnym odcinków CD i BE . Wykaż, że punkt P jest środkiem odcinka BE .

Wiedząc, że punkt E jest środkiem odcinka AD , a punkt C jest środkiem odcinka BE oraz |AC | = |AE | , wykaż, że |AB | = |CD | .


PIC


Odcinki DH i EI są równoległe do boku BC trójkąta ABC , a odcinki DF i EG są równoległe do boku AC . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to  2 |AD | = |DE |⋅|DB | .


PIC


W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie M . Przez punkt M prowadzimy prostą równoległą do BC , przecinającą bok AB w punkcie N (rys.). Udowodnij, że |MN | = |BN | .


PIC


*Ukryj

W trójkącie ABC dwusieczna kąta A przecina bok BC w punkcie P . Przez punkt P prowadzimy prostą równoległą do AC , przecinającą bok AB w punkcie Q (rys.). Udowodnij, że |P Q| = |AQ | .


PIC


Wykaż, że jeżeli kąty α,β ,γ trójkąta ABC spełniają warunek  1−cosγ- cos α = 2cosβ to trójkąt jest równoramienny.

Odcinek AS jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

Wykaż, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie tego boku.

Wykaż, że jeżeli w trójkącie dwusieczna pokrywa się ze środkową, to trójkąt ten jest równoramienny.

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę 120∘ . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Środkowa AD trójkąta ABC ma długość równą połowie długości boku BC oraz |BC | ≤ 2 . Wykaż, że |AB | ⋅|AC | ≤ 2 .

W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Wykaż, że  ( ) |AB |2 = 15 |BC |2 + |AC |2 .

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R mają długości 32R i  √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi  --- R-(3+ √ 21) 4 .

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to  2 2 1 2 a + b > 2c .

Strona 1 z 2>