W trójkącie połączono środki boków i otrzymano trójkąt
. Uzasadnij, że trójkąty
i
są podobne.
/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne
Punkty są środkami odpowiednio boków
trójkąta
. Uzasadnij, że trójkąt
jest przystający do trójkąta
.
Trójkąt jest ostrokątny oraz
. Dwusieczna
kąta
przecina bok
w punkcie
. Punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
, a punkt
jest obrazem punktu
w symetrii osiowej względem dwusiecznej
kąta
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
w ten sposób, że
i
. Okrąg opisany na trójkącie
przecina bok
tego trójkąta w punkcie
takim, że
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że .
Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.
Odcinki i
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
, a punkt
jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:
- na czworokącie
można opisać okrąg;
- okręgi opisane na trójkątach
i
mają promienie równej długości.
Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego przecinają boki
,
i
tego trójkąta odpowiednio w punktach
,
i
. Wykaż, że jeżeli trójkąt
jest podobny do trójkąta
, to trójkąt
jest równoboczny.
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki
,
i
tego trójkąta w punktach – odpowiednio –
,
oraz
. Punkt
jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach
oraz
można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt
jest równoboczny.
Trójkąty i
wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.
W trójkącie miara kąta
jest dwa razy większa od miary kąta
. Dwusieczna kąta
dzieli trójkąt
na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta
.
Miary kątów trójkąta są równe
,
i
. Punkt
jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki
i
przecinają boki
i
tego trójkąta w punktach odpowiednio
i
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , to na czworokącie
można opisać okrąg.
W trójkącie na boku
zaznaczono punkt
, na boku
zaznaczono punkt
, na boku
punkt
. Poprowadzono okręgi
, w ten sposób, że do okręgu
należą punkty
, do
– punkty
, a do
– punkty
. Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.
Okrąg przechodzi przez wierzchołek
trójkąta
i przecina jego boki
i
odpowiednio w punktach
i
. Okrąg
przechodzi przez wierzchołek
, przecina okrąg
w punkcie
oraz w punkcie
leżącym wewnątrz trójkąta
. Ponadto okrąg
przecina bok
trójkąta w punkcie
.
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
W trójkącie na boku
wybrano takie punkty
i
, że
![1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2](https://img.zadania.info/zad/4762166/HzadT4x.gif)
Przez punkty i
poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio
i
. Proste te przecięły się w punkcie
. Wykaż, że odcinek
jest zawarty w środkowej trójkąta
.
Dany jest trójkąt . Odcinek
jest wysokością tego trójkąta, punkt
jest środkiem boku
(tak jak na rysunku) i
. Udowodnij, że trójkąt
jest równoboczny.
Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta spełniają równość
![1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c](https://img.zadania.info/zad/5708633/HzadT1x.gif)
to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy .
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki
i
tego trójkąta w punktach – odpowiednio –
i
. Punkt
jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta
spełniają warunki:
oraz
![|BC |2 + 3|AC | = 3|AC |2 + 1.](https://img.zadania.info/zad/5850251/HzadT8x.gif)
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
W trójkącie punkt
jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty
są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami
i
odpowiednio.
- Uzasadnij, że na czworokącie
można opisać okrąg.
- Wiedząc, że
oraz
oblicz miary kątów trójkąta
.
Na bokach ,
i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
. Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach
,
i
przecinają się w jednym punkcie.
W trójkącie punkt
jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty
i
są punktami styczności tego okręgu z bokami
i
odpowiednio. Wykaż, że punkt
leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
Na bokach i
trójkąta
wybrano odpowiednio punkty
i
. Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach
i
są styczne, to punkt
leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
Odcinki i
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
, a punkt
punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty:
i
;
i
;
i
.
Odcinki i
są wysokościami trójkąta ostrokątnego
, a punkt
jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że punkty
i
leżą na jednym okręgu.