Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne

Wyszukiwanie zadań

W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt ′ ′ ′ A B C . Uzasadnij, że trójkąty ABC i A′B ′C ′ są podobne.

Ukryj Podobne zadania

Punkty ′ ′ ′ A ,B ,C są środkami odpowiednio boków BC ,CA ,AB trójkąta ABC . Uzasadnij, że trójkąt A′B ′C ′ jest przystający do trójkąta AB ′C′ .

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K . Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC , punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d C kąta ACB , a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K,L i M w ten sposób, że |BK | = |BL | i |CL | = |CM | . Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina bok AB tego trójkąta w punkcie N takim, że |AN | < |AK | (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że |AN | = |AM | .

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Odcinki AK i BL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

  • na czworokącie ABKL można opisać okrąg;
  • okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.

Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego ABC przecinają boki BC , AC i AB tego trójkąta odpowiednio w punktach K , L i M . Wykaż, że jeżeli trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , to trójkąt ABC jest równoboczny.

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC , AC i AB tego trójkąta w punktach – odpowiednio – K , L oraz M . Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLP K oraz BKP M można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta CAB . Dwusieczna kąta ACB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC .

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .

PIC

Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

W trójkącie ABC na boku AB wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio AC i BC . Proste te przecięły się w punkcie S . Wykaż, że odcinek CS jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC . Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD | = |DE | . Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.

PIC

Wykaż, że jeżeli długości a ,b,c boków trójkąta spełniają równość

1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy b√3- 3 .

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki AB i AC tego trójkąta w punktach – odpowiednio – L i K . Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta ABC spełniają warunki: |AB |+ |AC | = 1 oraz

|BC |2 + 3|AC | = 3|AC |2 + 1.

Udowodnij, że punkt A leży na okręgu opisanym na trójkącie KLP .

W trójkącie ABC punkt S jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i AB odpowiednio.

  • Uzasadnij, że na czworokącie AMSL można opisać okrąg.
  • Wiedząc, że ∘ |∡CAB | = 3 8 oraz ∘ |∡ABC | = 5 8 oblicz miary kątów trójkąta KLM .

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i F . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

W trójkącie ABC punkt S jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty M i N są punktami styczności tego okręgu z bokami AB i AC odpowiednio. Wykaż, że punkt S leży na okręgu opisanym na trójkącie AMN .

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Odcinki AK i BL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt S punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty:

  • AKC i BLC ;
  • LAS i BKS ;
  • ABC i CKL .

Odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt H jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że punkty H ,D ,C i E leżą na jednym okręgu.