Różne/Udowodnij.../Dowolny - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 12 0 . Na bokach tego trójkąta zbudowano trójkąty równoboczne ABM , BCK i CAL (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że .
Wykaż, że proste , i przecinają się w jednym punkcie (jest to tzw. punkt Torricellego-Fermata).

W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt ′ ′ ′ A B C . Uzasadnij, że trójkąty ABC i A′B ′C ′ są podobne.

Ukryj Podobne zadania

Punkty ′ ′ ′ A ,B ,C są środkami odpowiednio boków BC ,CA ,AB trójkąta ABC . Uzasadnij, że trójkąt A′B ′C ′ jest przystający do trójkąta AB ′C′ .

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna kąta ACB przecina bok w punkcie . Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta BAC , punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej d C kąta ACB , a punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta ABC (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K,L i w ten sposób, że |BK | = |BL | i |CL | = |CM | . Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina bok tego trójkąta w punkcie takim, że |AN | < |AK | (zobacz rysunek).

Udowodnij, że |AN | = |AM | .

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

na czworokącie można opisać okrąg;
okręgi opisane na trójkątach i mają promienie równej długości.

Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego ABC przecinają boki , i tego trójkąta odpowiednio w punktach , i . Wykaż, że jeżeli trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , to trójkąt ABC jest równoboczny.

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki , i tego trójkąta w punktach – odpowiednio – , oraz . Punkt jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLP K oraz BKP M można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta CAB . Dwusieczna kąta ACB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC .

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki i przecinają boki i tego trójkąta w punktach odpowiednio i (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

W trójkącie ABC na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu należą punkty A , E , F , do – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg przechodzi przez wierzchołek trójkąta ABC i przecina jego boki i odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez wierzchołek , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

W trójkącie ABC na boku wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku (tak jak na rysunku) i |CD | = |DE | . Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.

Wykaż, że jeżeli długości a ,b,c boków trójkąta spełniają równość

1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy b√3- 3 .

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki i tego trójkąta w punktach – odpowiednio – i . Punkt jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta ABC spełniają warunki: |AB |+ |AC | = 1 oraz

|BC |2 + 3|AC | = 3|AC |2 + 1.

Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie KLP .

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i odpowiednio.

Uzasadnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Wiedząc, że oraz oblicz miary kątów trójkąta .

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty i są punktami styczności tego okręgu z bokami i odpowiednio. Wykaż, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie AMN .

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty:

Strona 1 z 2