Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Niech a i b będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś p i r długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Prosta przechodząca przez wierzchołek A równoległoboku ABCD przecina jego przekątną BD w punkcie E i bok BC w punkcie F , a prostą DC w punkcie G . Udowodnij, że

|EA |2 = |EF| ⋅|EG |.

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Dany jest równoległobok ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie L , a okrąg wpisany w trójkąt ABD ma środek S i jest styczny do boku AD w punkcie K .


PIC


Wykaż, że jeżeli odcinek SL jest równoległy do prostej AB , to |KD | = |SL| .

Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat.


PIC


W równoległoboku ABCD punkt E jest takim punktem boku BC , że |BE | = 13|BC | . Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta BF E stanowi -1 12 pola równoległoboku ABCD .


PIC


Punkt E jest środkiem boku BC równoległoboku ABCD , a odcinek AE przecina przekątną BD w punkcie F . Wykaż, że |FD | = 2|BF | .

*Ukryj

W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC . Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF .


PIC


W równoległoboku wpisano dwa przystające okręgi styczne zewnętrznie do siebie (patrz rysunek). Wykaż, że średnica każdego z tych okręgów jest równa różnicy długości dłuższego i krótszego boku tego równoległoboku.


PIC


Na rysunku przedstawiono równoległobok ABCD i trójkąt AED . Punkt E leży na odcinku BC . Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest dwa razy większe od pola trójkąta AED .


PIC


Kąt ostry równoległoboku ma miarę  ∘ 6 0 . Stosunek kwadratów długości przekątnych jest równy 13 . Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.

Dany jest równoległobok ABCD . Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE | = 12|AC | (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE .


PIC


*Ukryj

Na przekątnej AC równoległoboku ABCD wybrano punkt E (zobacz rysunek). Uzasadnij, że trójkąty ABE i ADE mają równe pola.


PIC


Punkty R i S są środkami boków odpowiednio AB i BC równoległoboku ABCD . Wykaż, że pole trójkąta RSD jest równe38 pola tego równoległoboku.

W równoległoboku ABCD punkt P jest takim punktem boku AB , że |AP | : |PB | = 2 . Punkt R jest takim punktem boku BC , że |RC | : |BR | = 2 . Wykaż, że pole trójkąta PDR jest 5 razy większe od pola trójkąta P BR .


PIC


Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek).


PIC


Udowodnij, że |AC | = |FG | .

W równoległoboku ABCD , w którym |AB | = 2|AD | punkt M jest środkiem boku CD . Wykaż, że trójkąt ABM jest prostokątny.

Na przeciwległych bokach równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty BEF C i AGHD . Udowodnij, że proste BH i DE są równoległe.


PIC


Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

*Ukryj

Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe.


PIC


Na przekątnej BD równoległoboku ABCD obrano dowolny punkt P . Wykaż, że pola trójkątów AP D i CDP są równe.

*Ukryj

Na przekątnej AC równoległoboku ABCD zaznaczono dowolny punkt P . Udowodnij, że pola trójkątów ABP i ADP są równe.