W trójkąt równoboczny o boku długości wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.
/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Liczenie sumy
W trójkąt równoboczny o boku długości 3 wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.
Rozważamy nieskończone ciągi geometryczne o ilorazie , w których kwadrat drugiego wyrazu jest dodatni i równy sumie wyrazów: drugiego, trzeciego i czwartego. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego spośród rozpatrywanych ciągów, którego suma wszystkich wyrazów jest najmniejsza. Oblicz tę sumę.
W trójkąt równoboczny o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta
i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta
trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt
. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.
Dane jest koło o promieniu
. W tym kole narysowano koło
styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła
. W kole
narysowano koło
styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła
. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.
Wyrazy pewnego nieskończonego ciągu
spełniają warunki
,
. Wiedząc, że nieskończony ciąg
określony wzorem
jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu
.
Niech będzie trójkątem równobocznym o boku długości
. Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne
takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów
.
Monotoniczny ciąg geometryczny jest zdefiniowany przez warunki

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu .
Niech , dla liczby całkowitej
, oznacza sumę odwrotności pierwiastków równania

z niewiadomą . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu
.
Ciąg jest określony dla
i spełnia warunki

Oblicz granicę

W kąt o mierze wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień
i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.
Dane jest koło o promieniu . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy
, w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy
itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.
Liczby i
są pierwiastkami równania
, gdzie
jest pewną ujemną liczbą rzeczywistą. Ciąg
określony jest wzorem
. Oblicz sumę wyrazów tego ciągu.
Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.
Dany jest nieskończony ciąg okręgów o równaniach
,
. Niech
będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem
i wewnętrznym okręgiem
. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni
, gdzie
.
Dany jest nieskończony ciąg okręgów o równaniach
,
. Niech
będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem
i wewnętrznym okręgiem
. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni
, gdzie
.
Określamy kwadraty następująco:
-
jest kwadratem o boku długości
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej ,
-
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu
i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
.
- Udowodnij, że ciąg
jest ciągiem geometrycznym.
- Wyznacz te wartości parametru
, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu
. Oblicz tę sumę.
- Wyznacz te wartości parametru
, dla których ciąg
jest malejący.
W kwadrat o boku wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.
W kwadrat o boku wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę obwodów wszystkich tych kwadratów.
W kwadrat o boku
wpisujemy kwadrat
, którego wierzchołki są środkami boków kwadratu
, następnie w kwadrat
wpisujemy kwadrat
, którego wierzchołki są środkami boków
i tak dalej. Oblicz sumę pól otrzymanego w ten sposób nieskończonego ciągu kwadratów.
Dany jest nieskończony ciąg sześcianów określony dla
. Krawędź pierwszego z nich jest równa
. Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość
równą różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie, trzeci sześcian ma krawędź
o długości równej różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę pól powierzchni wszystkich sześcianów tworzących ciąg
.
W zbieżnym nieskończonym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 4, a różnica między trzecim i piątym wyrazem jest równa . Jaka jest suma wyrazów tego ciągu?