Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Rozważamy nieskończone ciągi geometryczne o ilorazie q > 0 , w których kwadrat drugiego wyrazu jest dodatni i równy sumie wyrazów: drugiego, trzeciego i czwartego. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego spośród rozpatrywanych ciągów, którego suma wszystkich wyrazów jest najmniejsza. Oblicz tę sumę.

W trójkąt równoboczny ABC o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta ABC i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta ABC trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt ABC . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.


PIC


Dane jest koło k1 o promieniu r . W tym kole narysowano koło k2 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k1 . W kole k2 narysowano koło k3 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k 2 . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.


PIC


Wyrazy a1,a2,a3,...,a10 pewnego nieskończonego ciągu an spełniają warunki a 1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 20 , a2 + a4 + a 6 + a8 + a10 = 15 . Wiedząc, że nieskończony ciąg bn określony wzorem bn = 43an+5 jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu bn .

Niech T1 będzie trójkątem równobocznym o boku długości a . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów T ,T ,T ,... 1 2 3 .

Monotoniczny ciąg geometryczny (an) jest zdefiniowany przez warunki

{ √ -- a1 = 5 an+ 2 = an − an+1.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a ) n .

Niech pn , dla liczby całkowitej n ≥ 0 , oznacza sumę odwrotności pierwiastków równania

√ -- 3x2 − 92nx − 63n = 0

z niewiadomą x . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (pn ) .

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunki

{ a1 = 2 0 an+ 1 = --56(n+-1)an-- dla n ≥ 1 1+2+ 3+...+ 48

Oblicz granicę

 ( ) lim a + a2+ a3-+ ⋅⋅⋅+ an- . n→ +∞ 1 2! 3! n!

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.


PIC


Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania  2 3x − x+ m = 0 , gdzie m jest pewną ujemną liczbą rzeczywistą. Ciąg (an) określony jest wzorem an = (x1 + x2)n . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu.

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √-2-− 2-+ 2√-2-− 4-+ 4√-2-− 8--+ -8-√2-− 16-+ 16√-2-− ... 3 3 3 3 9 9 3 27 27 3 81 81 3
*Ukryj

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √-3-− 3-+ 3√-3-− 9--+ -9√-3-− -27-+ 27-√-3-− ... 5 5 5 5 25 25 5 125 125 5

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa a , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach  2 2 11−n x + y = 2 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

*Ukryj

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach  2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Dany jest ciąg an o wyrazie ogólnym  ( 3−p) 2n−3 an = 3+p- .

  • Udowodnij, że ciąg an jest ciągiem geometrycznym.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu an . Oblicz tę sumę.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których ciąg an jest malejący.

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.

*Ukryj

W kwadrat K 1 o boku a wpisujemy kwadrat K2 , którego wierzchołki są środkami boków kwadratu K 1 , następnie w kwadrat K 2 wpisujemy kwadrat K 3 , którego wierzchołki są środkami boków K 2 i tak dalej. Oblicz sumę pól otrzymanego w ten sposób nieskończonego ciągu kwadratów.

Dany jest nieskończony ciąg sześcianów (Sn ) określony dla n ≥ 1 . Krawędź pierwszego z nich jest równa a1 = a . Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość a2 równą różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie, trzeci sześcian ma krawędź a 3 o długości równej różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę pól powierzchni wszystkich sześcianów tworzących ciąg (Sn ) .

W zbieżnym nieskończonym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 4, a różnica między trzecim i piątym wyrazem jest równa 3281- . Jaka jest suma wyrazów tego ciągu?

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunki

( √2- |{ a1 = 2 2an+ 2 = an dla n ≥ 1 |( √ -- 2 2an +3 + an = 0 dla n ≥ 1

Oblicz granicę

 lim (a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an). n→ +∞
Strona 1 z 2>