Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).
*Ukryj

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x 6 + y6 ≥ x4y2 + x2y4 .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x ≥ y ≥ z , prawdziwa jest nierówność

x2z+ y2x + z2y ≤ x 2y + y 2z+ z 2x .

Możesz skorzystać z tożsamości

(x − y)(y− z)(z− x) = xy2 + yz 2 + zx 2 − xz 2 − yx 2 − zy2.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.
*Ukryj

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

 6 6 1 + x--+-y--≥ x3 + y3 2

Dany jest wielomian  3 2 W (x) = x + 2x − 9x − 18 .

  • Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
  • Sprawdź, czy wielomiany W (x ) i P(x ) = (x+ 2)(x2 − 2x + 4) + (x + 2)(2x − 1 3) są równe.
  • Uzasadnij, że jeśli  √ --- x > 10 , to  3 2 x + 2x − 9x − 18 > 0 .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

 4 3 2 x − x + 2x − x + 1 > 0 .
*Ukryj

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

 4 3 2 x − 2x − 2x + 8 ≥ 0.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

 4 2 x − x + 2x + 3 > 0.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

 4 3 2 x − x + 3x − 2x + 2 > 0.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

 4 2 x − x − 2x + 3 > 0.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 + y4 + x2 + y2 ≥ 2xy (x + y).

Udowodnij, że jeżeli a ,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność  3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab .

*Ukryj

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x3 + y3 ≥ x2y + xy 2 .

Funkcja f określona jest wzorem  3 4 2 f(x ) = 4x − x − 12x + 3x + 2 dla x ∈ R . Wykaż, że

 √3-- √3-- √3-- √3-- f′( 4 + 3) < f ′( 3 + 2).

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ≥ 2(x3 + y3).
*Ukryj

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

a6 + b6 + a2 + b2 ≥ 2(a4 + b4).

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność

1 1 -x 4 +--x3 > 3x 2 − 1 6. 4 3

Udowodnij, że jeżeli a ,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność 3 3 ( )3 a+2b--≥ a+2b- .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

(9x3y − 24x 2y+ 16xy )(9xy3 − 24xy 2 + 1 6xy) ≥ 0.

Funkcja  3 2 f(x) = x + ax + bx+ c ma trzy różne miejsca zerowe: p,q,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Udowodnij, że jeżeli a ,b ≥ 0 , to prawdziwa jest nierówność  3 3 2 4a + b ≥ 3ab .

*Ukryj

Uzasadnij, że jeżeli 2a + b ≥ 0 , to  3 3 2 2a + b ≥ 3a b .

Wykaż, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych x , y spełniona jest nierówność: 4x 3 + y 3 ≥ 3xy2 .