Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Udowodnij, że jeśli liczby dodatnie a i b spełniają warunek  2 2 a + b = 23ab , to  √ --- log5(a + b) = log 5 ab + 1 .

Udowodnij, że dla a ∈ R + ∖{1 } oraz n ∈ N + ∖ {1} spełniona jest równość:

---1---+ ---1---+ ---1---+ ⋅ ⋅⋅+ ----1--- = 2703 lo g a. loga3 n loga5 n loga7 n loga103 n n

Wykaż, że lo g75 = log 4925 .

Niech a = log122 . Wykaż, że  6a-- log 664 = 1−a .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli log 1612 = a , to  4a−-2 lo g243 = 4a+ 1 .

Niech log3 8 = p . Wykaż, że  3p+-3 log6 24 = p+3 .

Niech m = log32 . Wykaż, że  2(1+m-) log2 36 = m .

Niech m = log23 . Wykaż, że  2(1+m-) log3 36 = m .

Niech a = log183 . Wykaż, że  4a-- log 681 = 1−a .

Dodatnie liczby rzeczywiste a i b takie, że a > b , spełniają warunek

 ( a − b) 1 log 2 ------ = --(lo g2a + log2 b). 3 2

Wykaż, że dla liczb a i b prawdziwa jest równość  2 2 a + b = 1 1ab .

Korzystając ze wzoru

 n+ 1 n 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = nx----−-(n-+--1)x-+--1, (1− x)2

który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby x ⁄= 1 , wykaż, że

 ( 3 27 n 3⋅9n) 2n+3 2n+ 2 log 3-⋅-27--⋅⋅⋅-⋅⋅(3⋅-9-)---- = (2n+--1)3-----+-(2n-+-2)3-----+--3. 3 99 ⋅8181 ⋅⋅ ⋅⋅⋅(9n)9n 16

Wykaż, że dla liczb spełniających odpowiednie założenia (podaj te założenia) prawdziwy jest wzór: loga b = log1 1b a .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli a,b > 0 i a ⁄= 1 , to dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwy jest wzór

log n b = 1-lo g b. a n a

Niech  √ -√5-- a = log 6 4 . Wykaż, że  √ -√3-- -10a-- log 3 2 = 12− 15a .

Wykaż, że dla  √ --- a = log 15 3 + log5 27 i  √9-- b = log5 3− log 5 3 prawdziwa jest równość b = 16 a 9 .

Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby a i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby b spełniona jest równość

--1---+ --1----+ ---1---+ ⋅⋅⋅+ --1----+ ---1----= --55--. lo gab lo ga2 b loga3 b lo ga9 b loga10 b logab

Liczby rzeczywiste x,y spełniają warunki: x > 1 , y > 1 oraz  3 3 x > y + 1 . Wykaż, że prawdziwa jest równość

-------1------ ⋅------1------- = -------1------ ⋅-------1------. logx (x3 + y3) logy (x3 − y3) logy (x3 + y3) logx (x3 − y3)

Udowodnij, że liczby  log 5 2 3 i  log 2 5 3 są równe.

*Ukryj

Uzasadnij, że  log 11 log 5 5 7 = 11 7 .

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość

 ( y) ( y) logx (xy) ⋅lo gy -- = logy(xy )⋅logx -- . x x

Wiadomo, że log 511 = a . Wykaż, że  √ -- -3 log121 5 5 = 4a .