Niech . Wykaż, że
.
/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy/Tożsamości
Udowodnij, że jeśli liczby dodatnie i
spełniają warunek
, to
.
Wykaż, że jeżeli oraz
, to
.
Udowodnij, że dla oraz
spełniona jest równość:
![---1---+ ---1---+ ---1---+ ⋅ ⋅⋅+ ----1--- = 2703 lo g a. loga3 n loga5 n loga7 n loga103 n n](https://img.zadania.info/zad/5705963/HzadT2x.gif)
Wykaż, że .
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Wykaż, że jeżeli , to
.
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Niech . Wykaż, że
.
Udowodnij, że
![1 log2022!2023 = ---1---------1---------1----------------1----. log22023 + log32023 + log42023 + ...+ log20222023](https://img.zadania.info/zad/6448131/HzadT0x.gif)
Wykaż, że jeżeli , to
.
Dodatnie liczby rzeczywiste i
takie, że
, spełniają warunek
![( a − b) 1 log 2 ------ = --(lo g2a + log2 b). 3 2](https://img.zadania.info/zad/7297772/HzadT3x.gif)
Wykaż, że dla liczb i
prawdziwa jest równość
.
Korzystając ze wzoru
![n+ 1 n 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ⋅⋅⋅+ nxn −1 = nx----−-(n-+--1)x-+--1, (1− x)2](https://img.zadania.info/zad/7422436/HzadT0x.gif)
który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnej liczby
, wykaż, że
![( 3 27 n 3⋅9n) 2n+3 2n+ 2 log 3-⋅-27--⋅⋅⋅-⋅⋅(3⋅-9-)---- = (2n+--1)3-----+-(2n-+-2)3-----+--3. 3 99 ⋅8181 ⋅⋅ ⋅⋅⋅(9n)9n 16](https://img.zadania.info/zad/7422436/HzadT3x.gif)
Wykaż, że dla liczb spełniających odpowiednie założenia (podaj te założenia) prawdziwy jest wzór: .
Wykaż, że jeżeli i
, to dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej
prawdziwy jest wzór
![log n b = 1-lo g b. a n a](https://img.zadania.info/zad/6391301/HzadT3x.gif)
Niech . Wykaż, że
.
Wykaż, że dla i
prawdziwa jest równość
.
Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby
spełniona jest równość
![--1---+ --1----+ ---1---+ ⋅⋅⋅+ --1----+ ---1----= --55--. lo gab lo ga2 b loga3 b lo ga9 b loga10 b logab](https://img.zadania.info/zad/8852357/HzadT2x.gif)
Dane są liczby rzeczywiste i
takie, że
i
. Wykaż, ze
![√ -- √ -- a3 + b3 = (a + b − 3)(a + b)(a + b + 3).](https://img.zadania.info/zad/8875474/HzadT4x.gif)
Liczby rzeczywiste spełniają warunki:
,
oraz
. Wykaż, że prawdziwa jest równość
![-------1------ ⋅------1------- = -------1------ ⋅-------1------. logx (x3 + y3) logy (x3 − y3) logy (x3 + y3) logx (x3 − y3)](https://img.zadania.info/zad/9475703/HzadT4x.gif)
Udowodnij, że liczby i
są równe.
Uzasadnij, że .
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej
różnej od 1 prawdziwa jest równość
![( y) ( y) logx (xy) ⋅lo gy -- = logy(xy )⋅logx -- . x x](https://img.zadania.info/zad/9889543/HzadT2x.gif)
Udowodnij, że jeżeli i
, to
.
Wiadomo, że . Wykaż, że
.