Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ACB | = 90 i  ∘ |∡ABC | = 60 . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 1 .

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |BC |2 = 4⋅ |DN |⋅ |DM | .


PIC


*Ukryj

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów ABC i ANM jest równa -2cosα- 1+cos2α .


PIC


Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano trójkąty równoramienne CDA i BEC w ten sposób, że |AD | = |CD |,|BE | = |CE | oraz punkty DCE leżą na jednej prostej. Wykaż, że proste AD i BE są równoległe.


PIC


Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim opisanego.

W trójkącie prostokątnym ABC punkt M leży na przeciwprostokątnej BC . Z punktu M poprowadzono odcinki DM i EM prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AB i AC (rysunek). Udowodnij, że |DM-|+ |EM-|= 1 |AC| |AB | .


PIC


*Ukryj

Trójkąt ABC jest prostokątny. Z punktu K należącego do przeciwprostokątnej AB poprowadzono odcinki KM oraz KL prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych BC oraz AC (rysunek).


PIC


Wykaż, że |KM | |KL| |AC|-+ |BC| = 1 .

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.


PIC


Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |MD-| |AC|2 |DN | = |AB|2 .


PIC


Wykaż, że jeżeli pole trójkąta prostokątnego jest równe S , to długość jego przeciwprostokątnej jest nie mniejsza niż  √ -- 2 S .

Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D .


PIC


Udowodnij, że jeżeli |AD | = |BD | , to |CD | = 12 ⋅ |BD | .

*Ukryj

Dwusieczna kąta ostrego ACB przecina przyprostokątną AB trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D .


PIC


Udowodnij, że jeżeli |AD | = 12 ⋅|CD | , to |BD | = |CD | .

Uzasadnij, że trójkąty prostokątne ABC i DEF (patrz rysunek) są podobne.


PIC


*Ukryj

Uzasadnij, że trójkąty prostokątne ABC i DEF (patrz rysunek) są podobne.


PIC


Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym  ∘ ∡C = 90 . W trójkącie tym poprowadzono wysokość CD . Wykaż, że |CD | = r+ r1 + r2 , gdzie r,r1,r2 są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty ABC ,ADC i DBC .


PIC


Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 6, w którym długość przeciwprostokątnej jest liczbą z przedziału ⟨5,6⟩ . Wykaż, że suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest liczbą z przedziału  √ --- ⟨7,2 15 ⟩ .

Uzasadnij, że jeżeli CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∡ACB = 90∘ to |AD |⋅|DB | = |CD |2 .


PIC


Wykaż, że jeżeli długości boków a,b,c trójkąta prostokątnego są liczbami całkowitymi, to liczba abc jest parzysta.

Uzasadnij, że kąt ostry między dwusiecznymi kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy 4 5∘ .


PIC


<Strona 2 z 2