Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
oraz
. Punkty
i
leżą na bokach – odpowiednio –
i
tak, że
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina wysokość
tego trójkąta w punkcie
, a ponadto
.
Wykaż, że .
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
oraz
. Punkty
i
leżą na bokach – odpowiednio –
i
tak, że
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina wysokość
tego trójkąta w punkcie
, a ponadto
.
Wykaż, że .
Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego
poprowadzona z wierzchołka
kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki
i
, których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio
i
tego trójkąta.
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
i
. Niech
oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka
kąta prostego i przeciwprostokątnej
tego trójkąta. Wykaż, że
.
Dany jest trójkąt prostokątny . Na przyprostokątnych
i
tego trójkąta obrano odpowiednio punkty
i
. Na przeciwprostokątnej
wyznaczono punkty
i
takie, że
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt
jest podobny do trójkąta
.
Dany jest trójkąt prostokątny . Na przyprostokątnych
i
tego trójkąta obrano odpowiednio punkty
i
. Na przeciwprostokątnej
wyznaczono punkty
i
takie, że
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt
jest podobny do trójkąta
.
Dany jest trójkąt prostokątny . Na przyprostokątnych
i
tego trójkąta obrano odpowiednio punkty
i
takie, że
. Na przeciwprostokątnej
wyznaczono punkt
taki, że
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt
jest podobny do trójkąta
.
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt
. Wykaż, że pole trójkąta
jest równe
.
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt
. Wykaż, że pole trójkąta
jest dwa razy większe od pola trójkąta
.
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i
są takie, że
i
.
Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.
Trójkąty prostokątne równoramienne i
są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku
jest prosty). Wykaż, że
.
Trójkąty prostokątne równoramienne i
są położone tak, jak na poniższym rysunku.
Wykaż, że .
Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej trójkąta prostokątnego
przecina drugą przyprostokątną
oraz przeciwprostokątną
tego trójkąta odpowiednio w punktach
i
. Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie
jest równy
.
Punkt przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
zrzutowano na przeciwprostokątną
otrzymując punkt
. Wykaż, że
.
W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa . Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy
.
W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy
.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i
, a jego przeciwprostokątna ma długość
. Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość
.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.
Wykaż, że jeśli są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to
.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
, a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość
.
Wykaż, że jeżeli to
.
Trójkąty i
są prostokątne oraz
. Punkty
i
leżą na jednej prostej. Punkty
i
są środkami odcinków
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że kąt
jest prosty.
Trójkąty i
są równoramienne i prostokątne. Punkty
i
leżą na jednej prostej, a punkty
i
są środkami odcinków
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że
.
Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.
Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.
Na przyprostokątnych i
trójkąta prostokątnego
zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty
i
. Odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie
, a odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie
(zobacz rysunek). Udowodnij, że
.
Trójkąt jest prostokątny. Punkt
jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną
oraz
(patrz rysunek). Wykaż, że
.
W trójkącie prostokątnym , w którym kąt przy wierzchołku
jest kątem prostym, poprowadzono środkowe
i
. Udowodnij, że
.