Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Wykaż, że wysokość CD trójkąta prostokątnego ABC poprowadzona z wierzchołka C kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki AD i DB , których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio AC i BC tego trójkąta.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym  ∘ |∡ACB | = 90 i  √ -- sin ∡BAC = --10- 5 . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 2 .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G . Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∡DEC | = |∡BGF | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG .


PIC


*Ukryj

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G . Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∡DEC | = |∡GF B | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta GBF .


PIC


Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych AB i AC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i E takie, że DE ∥ BC . Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkt F taki, że |∡DF C | = 90∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta FBD .


PIC


Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych a zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest równe  2 a .


PIC


Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre α i β są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest π razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD | = |BE | .


PIC


Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC przecina drugą przyprostokątną AC oraz przeciwprostokątną AB tego trójkąta odpowiednio w punktach E i F . Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie AF E jest równy 1|AE | 2 .


PIC


Punkt M przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną AB otrzymując punkt N . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 2√-3 3 . Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy 16 .

*Ukryj

W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa 3 2 . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy 58 .

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

*Ukryj

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i b , a jego przeciwprostokątna ma długość c . Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = a+b−c- 2 .

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.

*Ukryj

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.

Wykaż, że jeśli α,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość h .


PIC


Wykaż, że jeżeli b 2 = a⋅h to  √- co s∡BAC = -5−2-1 .

Trójkąty ABC i CDE są prostokątne oraz |∡BAC | = |∡DCE | . Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że kąt ∡KML jest prosty.


PIC


*Ukryj

Trójkąty ABC i CDE są równoramienne i prostokątne. Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej, a punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że |MK | = |ML | .


PIC


Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.

*Ukryj

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.

Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek AF przecina przyprostokątną BC w punkcie L , a odcinek BE przecina przyprostokątną AC w punkcie K (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .


PIC


Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną BC oraz |DC | = 13|BD | (patrz rysunek). Wykaż, że |∡ABD | = 30∘ .


PIC


W trójkącie prostokątnym ABC , w którym kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, poprowadzono środkowe AD i BE . Udowodnij, że  ( ) 45 |AD |2 + |BE |2 = |AB |2 .

Punkty D i E są takimi punktami przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC , że |AC | = |AE | i |BC | = |BD | . Wykaż, że ∡DCE = 45∘ .

Strona 1 z 2>