Udowodnij.../Prostokątny - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ABC | = 9 0 oraz |∡CAB | = 60∘ . Punkty i leżą na bokach – odpowiednio – i tak, że |BK | = |BL| = 1 (zobacz rysunek). Odcinek przecina wysokość tego trójkąta w punkcie , a ponadto |AD | = 2 .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |ND | = 3+ 1 .

Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego ABC poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki i , których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio i tego trójkąta.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 i √ -- sin ∡BAC = --10- 5 . Niech oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 2 .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡BGF | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡GF B | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta GBF .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i takie, że DE ∥ BC . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkt taki, że |∡DF C | = 90∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta FBD .

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest równe 2 a .

ZINFO-FIGURE

Ukryj Podobne zadania

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

ZINFO-FIGURE

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że |AD | = |BE | .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i ADE są położone tak, jak na poniższym rysunku.

Wykaż, że √ -- |BD | = 2 ⋅|CE | .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku . Niech każdy z boków tego trójkąta: CA , AB , BC będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 . Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: W 1, W 2, W 3 .

ZINFO-FIGURE

Pola trójkątów: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 oznaczymy odpowiednio jako P 1,P 2,P3 . Udowodnij, że

P = P + P 3 1 2

Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC przecina drugą przyprostokątną oraz przeciwprostokątną tego trójkąta odpowiednio w punktach i . Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie AF E jest równy 1|AE | 2 .

Punkt przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną otrzymując punkt . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 2√-3 3 . Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa 3 2 . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy .

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Ukryj Podobne zadania

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i , a jego przeciwprostokątna ma długość . Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = a+b−c- 2 .

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.

Wykaż, że jeśli α,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość .

Wykaż, że jeżeli b2 = a ⋅h to √- cos ∡BAC = -52−1- .

Trójkąty ABC i CDE są prostokątne oraz |∡BAC | = |∡DCE | . Punkty A ,C i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AC ,CE i (zobacz rysunek). Wykaż, że kąt ∡KML jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Trójkąty ABC i CDE są równoramienne i prostokątne. Punkty A ,C i leżą na jednej prostej, a punkty K ,L i są środkami odcinków AC ,CE i (zobacz rysunek). Wykaż, że |MK | = |ML | .

Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.

Ukryj Podobne zadania

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole ﬁgury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól ﬁgur zbudowanych na przyprostokątnych.

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie , a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .

Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną oraz |DC | = 13|BD | (patrz rysunek). Wykaż, że |∡ABD | = 30∘ .

Strona 1 z 2