Największe pole/Zadania na ekstrema - zadania z matematyki

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Wyszukiwanie zadań

Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe.

Rozwiązanie (1682747)

Ukryj

Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Rozwiązanie (2312654)

Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Rozwiązanie (4923186)

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego przekątna ma długość 6 dm. Oblicz, jakie jest największe możliwe pole powierzchni tego okna.

Rozwiązanie (2137854)

Ukryj

Rozpatrujemy trapezy równoramienne $ABCD$ o przekątnej długości 1 i sumie długości podstaw równej $x$ . Zapisz pole trapezu $ABCD$ jako funkcję zmiennej $x$ . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz sumę długości podstaw tego z rozważanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie (8998621)

Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ i $b$ spełniona jest nierówność $a-+-b- √ --- 2 ≥ ab$
W zbiorze prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu $R$ znajdź prostokąt o największym polu.

Rozwiązanie (3020043)

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S2$ i promieniu $2x$ , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18;
– punkty: $S ,S1,S2$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach $a ,b,c$ można obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie $p$ – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $SS 1S2$ jako funkcję zmiennej $x$ . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie (3234231)

Ukryj

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 12. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S2$ i promieniu $3x$ , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 12;
– punkty: $S ,S1,S2$ nie leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie (2640342)

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe.

Rozwiązanie (3626376)

Z odcinka drutu o długości 4 m wykonano ramkę w kształcie rombu z jedną przekątną (zobacz rysunek).

Jaka powinna być długość tej przekątnej, aby pole powierzchni tego rombu było największe możliwe?

Rozwiązanie (3906205)

Suma długości dwóch sąsiednich boków w pewnym trójkącie jest równa 14, a kąt między tymi bokami ma miarę $π6-$ . Wyznacz długości boków trójkąta tak, aby jego pole było największe. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie (4244758)

W trójkąt prostokątny o kącie ostrym $∘ 30$ i przeciwprostokątnej długości 40 cm wpisujemy prostokąty w ten sposób, że jeden bok każdego z tych prostokątów zawiera się w przeciwprostokątnej trójkąta. Zbadaj który z tych prostokątów ma największe pole.

Rozwiązanie (4388232)

Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym $∘ 6 0$ równa się $2s$ ( $s > 0$ ). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie (5131914)

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu $R$ należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).

Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie (5502714)

W kwadracie $ABCD$ o boku długości 1 na boku $AB$ wybrano punkt $L$ . Na bokach $BC$ i $AD$ wybrano odpowiednio punkty $M$ i $K$ tak, że $∡KLM = 1 20∘$ , a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku $BC$ . Oblicz długości odcinków $LK$ i $LM$ , dla których pole trójkąta $KLM$ jest największe.

Rozwiązanie (6138320)

W trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $|AB | = 2 6$ , $|BC | = 24$ , $|AC | = 10$ , wpisujemy prostokąty $CDEF$ , tak, że punkt $D$ należy do boku $AC$ , pkt $E$ należy do boku $AB$ i punkt $F$ należy do boku $BC$ . Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.

Rozwiązanie (6820951)

Przedstawiona na rysunku ﬁgura składa się z półkola i prostokąta. Oblicz maksymalne pole tej ﬁgury, jeżeli jej obwód jest równy $k$ .

Rozwiązanie (6853927)

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie (6899596)

Ukryj

Rozważamy zbiór wszystkich trapezów równoramiennych, których krótsza podstawa i ramiona mają długość 6. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby jego pole było największe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie (7506387)

Betonowy kanał wodny ma mieć przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 2 m. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby przez kanał mogło przepłynąć jak najwięcej wody, czyli aby pole powierzchni przekroju kanału było największe. Oblicz to pole przekroju.

Rozwiązanie (9030535)

Długości boków prostokąta $ABCD$ spełniają warunki: $2|AD | ≤ |CD |$ i $|CD | = 3$ . Na boku $CD$ wybrano punkty $E$ i $F$ w ten sposób, że $|DE | = |FC | = |AD |$ . Punkt $G$ jest takim punktem odcinka $AE$ , że $|AG | : |GE | = 2 : 1$ . Oblicz długość boku $AD$ prostokąta, dla której pole trójkąta $F GB$ jest największe.

Rozwiązanie (7180228)

Dany jest romb $ABCD$ o boku długości 1, w którym kąt $BAD$ jest ostry i $sin ∡BAD = 17$ . Na bokach $AB ,AD$ i $BC$ wybrano odpowiednio punkty $K ,L$ i $M$ w ten sposób, że odcinki $KL$ i $KM$ są równoległe do przekątnych rombu.

Oblicz pole czworokąta $CDLM$ .
Oblicz największą możliwą wartość pola trójkąta $KLM$ .

Rozwiązanie (7228546)

Rozpatrujemy wszystkie czworokąty $ABCD$ , które są jednoczenie wpisane w okrąg i opisane na okręgu, w których $|AB | = 2x$ , $|BC | = 5x$ , i których obwód jest równy 10.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg można obliczyć ze wzoru Brahmagupty

----------------------------- ∘ P = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d ),

gdzie $p$ – jest połową obwodu czworokąta.

Zapisz pole czworokąta $ABCD$ jako funkcję zmiennej $x$ . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych czworokątów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie (7627989)

Ratownicy mający do dyspozycji linę o długości 80 metrów mają wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta (wzdłuż brzegu nie będzie liny). Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko, jeżeli wczasowicze chcą, aby miało ono jak największą powierzchnię? Należy przyjąć, że brzeg plaży tworzy linię prostą.

Rozwiązanie (8762368)

Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki $a$ i $b$ , aby przez okno wpadało jak najwięcej światła?

Rozwiązanie (9096994)

Dany jest trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 8. Funkcja $f$ przyporządkowuje długości tego boku – pole trójkąta. Wyznacz wzór tej funkcji, jej dziedzinę, największą wartość, oraz zbiór wartości funkcji.

Rozwiązanie (9141189)

Legalni bukmacherzy