Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema/Największa objętość

Wyszukiwanie zadań

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a . Pole podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była największa?

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

  • Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

    √ -- --3- 2 3 V (R ) = 4 ⋅(6R − R ).

  • Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Częścią wspólną płaszczyzny m i kuli k o środku S i promieniu R jest koło o . Jaka musi być odległość płaszczyzny m od środka kuli S , aby stożek o podstawie o i wierzchołku S miał największą możliwą objętość? Oblicz tę maksymalną objętość.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Ukryj Podobne zadania

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt o obwodzie 40. Podaj promień podstawy i wysokość stożka o największej objętości. Oblicz jego objętość.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o polu powierzchni całkowitej P . Wyznacz wysokość i długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Romb o boku długości a obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 64 cm i szerokości 40 cm. Po dwóch stronach tego arkusza wycięto prostokąty, w których stosunek boków jest równy 1:2 (zacieniowane prostokąty na rysunku).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długości boków wyciętych prostokątów, dla których objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 1. Jakie powinny być wymiary tego prostopadłościanu, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12 cm?

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość d (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Ukryj Podobne zadania

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie walce, których przekrojem osiowym jest prostokąt, w którym suma długości przekątnej i jednego boku jest równa 10. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego walca.

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 6.

  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego krawędzi podstawy a i podaj dziedzinę funkcji V (a) .

  • Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tą największą objętość.

Mówimy, że walec jest wpisany w graniastosłup, jeżeli podstawy walca są zawarte w podstawach graniastosłupa, a powierzchnia boczna walca jest styczna do każdej ze ścian bocznych graniastosłupa (zobacz rysunek).

PIC

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne takie, że suma długości promienia i wysokości walca wpisanego w ten graniastosłup jest równa K . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Z kartonu w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości 120 cm odcięto trzy identyczne czworokąty w narożnikach (zobacz rysunek).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób pudełko w kształcie graniastosłupa trójkątnego prostego (bez przykrywki). Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Ukryj Podobne zadania

Z kawałka blachy w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości 60 cm robimy pudełko o sześciokątnym dnie (otwarte od góry) w następujący sposób: przy każdym wierzchołku odcinamy taki sam deltoid, tnąc w tej samej odległości od wierzchołka raz prostopadle do jednego, a drugi raz do drugiego boku, następnie zaginamy blachę wzdłuż przerywanych linii i lutujemy krawędzie (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H i krawędzi podstawy a wpisano walec, którego podstawa zawiera się w podstawie ostrosłupa, i którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa. Jakie powinny być wymiary tego walca, aby jego objętość była największa możliwa? Oblicz tę największą objętość.

PIC

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne ABCDE , w których krawędź boczna ma długość d (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz zależność objętości V ostrosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 4M , a jedna z jego ścian na pole powierzchni dwa razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Ukryj Podobne zadania

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 4M , a jedna z jego ścian na pole powierzchni trzy razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Tworząca stożka ma długość b . Wyznacz wysokość tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Rozpatrujemy wszystkie stożki o tworzącej długości l . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Strona 1 z 2