Różne/Parabola/Funkcje - wykresy - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne

Dla każdej liczby rzeczywistej równanie 1 2 y = 2x − bx + 2 opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią .

Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem 2 f(x) = x − 3x + 6 przecięto prostymi o równaniach x = 1 oraz x = − 2 . Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji .

Ukryj Podobne zadania

Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem 2 f(x) = x + 3x − 4 przecięto prostymi o równaniach x = − 1 oraz x = 2 . Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości z przedziału [−6 ,0] .

Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji 2 y = x dla x ∈ ⟨0,1⟩ i osią możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę prostokątów o szerokości każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.

Przedstaw ilustrację graﬁczną takiej sytuacji dla i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
Oblicz sumę pól prostokątów, wykorzystując wzór:
$n(n + 1)(2n + 1 ) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = -----------------. 6$

Naszkicuj wykres funkcji 2 y = x − 4 .

Ukryj Podobne zadania

Naszkicuj wykres funkcji 2 y = − 3x − 6x − 8 .

Naszkicuj wykres funkcji 2 y = x − 3x − 10 .

Naszkicuj wykres funkcji y = − (x− 2)(x+ 4) .

Naszkicuj wykres funkcji 2 y = (x+ 2) + 1 .

Naszkicuj wykres funkcji 2 y = −x + 4x+ 2 .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (x) = ax 2 + bx + c . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , ma współrzędne (5,− 3) . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych ma współrzędne (4,0) .

Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .

Ukryj Podobne zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (x) = ax 2 + bx + c . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , ma współrzędne (− 4,7) . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych ma współrzędne (− 6,0) .

Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .

Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 3 przy najwyższej potędze . Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne W = (5;− 10) . Wyznacz f(10 ) .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 4 przy najwyższej potędze . Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne W = (4;− 9) . Wyznacz f(10) .

Na wykresie funkcji 2 f(x ) = − 4x + 27x − 25 wyznacz taki punkt , którego druga współrzędna jest 7 razy większa od pierwszej współrzędnej.

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Rozwiąż nierówność f (x ) ≤ 3 .

Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji 2 f (x) = − 3x + 5x + 9 .

Prosta 25 x = 3 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f (x) . Do wykresu tego należy punkt o współrzędnych ( ) − 523,16 . Wyznacz wszystkie rozwiązania równania f(x) = 16 .

Naszkicuj 2 f(x) = x oraz g (x) = x + 3 i na ich podstawie określ liczbę pierwiastków równania x2 = x + 3 oraz znaki tych pierwiastków.

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Rozwiąż nierówność f (x ) ≤ 0 .

Ukryj Podobne zadania

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Rozwiąż nierówność f (x ) > 0 .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE

Rozwiąż nierówność f (x ) ≥ 0 .

ZINFO-FIGURE

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami f (x) = x2 oraz ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Niech będzie punktem leżącym na wykresie funkcji . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Ukryj Podobne zadania

Funkcje oraz są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Niech będzie punktem leżącym na wykresie funkcji . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Niech będzie punktem leżącym na wykresie . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej . Na paraboli y = f(x ) znajdź taki punkt , który leży powyżej osi , i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.

Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby − 4 i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość 2 12 . Uzasadnij, że wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z prostą y = 2 .

Ukryj Podobne zadania

Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby − 5 i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość − 3 . Uzasadnij, że wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z prostą y = − 2 .

Wykresy funkcji kwadratowych 2 f(x ) = 3x − 2mx − m oraz 2 g (x) = mx + x + 3 , dla m ⁄= 0 , przecinają się w dwóch punktach. Wyznacz wszystkie wartości , dla których iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn jest o mniejszy od największej wartości funkcji .

Wykres funkcji , określonej dla x ∈ R następującym wzorem

2 f(x) = (a− 3 )x − 2ax + 3a − 6

przecina dodatnią półoś w dwóch różnych punktach.

Oblicz wartość wyrażenia .
Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych spełniona jest nierówność .

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = −x 2 + 8x − 7 dla dowolnej liczby rzeczywistej . Parabola będąca wykresem funkcji y = f (x) przecina prostą y = log0,5 384 w punktach i . Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów i jest równa 64 + log2 9 .