Dla każdej liczby rzeczywistej równanie
opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią
.
/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne
Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem
przecięto prostymi o równaniach
oraz
. Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji
.
Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem
przecięto prostymi o równaniach
oraz
. Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji
.
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości z przedziału
.
Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji dla
i osią
możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę
prostokątów o szerokości
każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.
- Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla
i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
- Oblicz sumę
pól
prostokątów, wykorzystując wzór:
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, ma współrzędne
. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią
układu współrzędnych ma współrzędne
.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, ma współrzędne
. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią
układu współrzędnych ma współrzędne
.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .
Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 3 przy najwyższej potędze
. Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne
. Wyznacz
.
Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 4 przy najwyższej potędze
. Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne
. Wyznacz
.
Na wykresie funkcji wyznacz taki punkt
, którego druga współrzędna jest 7 razy większa od pierwszej współrzędnej.
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji
jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji .
Prosta jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
. Do wykresu tego należy punkt o współrzędnych
. Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
.
Naszkicuj oraz
i na ich podstawie określ liczbę pierwiastków równania
oraz znaki tych pierwiastków.
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej
(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji
, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie funkcji
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie funkcji
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
, które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją
w punkcie o współrzędnych
. Niech
będzie punktem leżącym na wykresie
. Wykaż, że odległość punktu
od punktu
wyraża się wzorem

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem
dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Na paraboli
znajdź taki punkt
, który leży powyżej osi
, i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby
i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość
. Uzasadnij, że wykres funkcji
ma dwa punkty wspólne z prostą
.
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby
i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość
. Uzasadnij, że wykres funkcji
ma dwa punkty wspólne z prostą
.
Wykresy funkcji kwadratowych oraz
, dla
, przecinają się w dwóch punktach. Wyznacz wszystkie wartości
, dla których iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn jest o
mniejszy od największej wartości funkcji
.
Wykres funkcji , określonej dla
następującym wzorem

przecina dodatnią półoś w dwóch różnych punktach.
- Oblicz wartość wyrażenia
.
- Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych
spełniona jest nierówność
.
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem
dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Parabola będąca wykresem funkcji
przecina prostą
w punktach
i
. Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów
i
jest równa
.
Dla jakich wartości parametru wierzchołek paraboli
leży najbliżej prostej
?
Dla jakich wartości parametru wierzchołek paraboli
leży najbliżej osi
.