Dla każdej liczby rzeczywistej równanie opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią .
/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola/Różne
Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem przecięto prostymi o równaniach oraz . Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji .
Wykres funkcji kwadratowej danej wzorem przecięto prostymi o równaniach oraz . Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych z wykresem funkcji .
Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji dla i osią możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę prostokątów o szerokości każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.
- Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
- Oblicz sumę pól prostokątów, wykorzystując wzór:
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
Naszkicuj wykres funkcji .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , ma współrzędne . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych ma współrzędne .
Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , ma współrzędne . Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych ma współrzędne .
Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji .
Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 3 przy najwyższej potędze . Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne . Wyznacz .
Dany jest trójmian kwadratowy o współczynniku 4 przy najwyższej potędze . Wierzchołek paraboli będącej wykresem tego trójmianu ma współrzędne . Wyznacz .
Na wykresie funkcji wyznacz taki punkt , którego druga współrzędna jest 7 razy większa od pierwszej współrzędnej.
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji .
Prosta jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Do wykresu tego należy punkt o współrzędnych . Wyznacz wszystkie rozwiązania równania .
Naszkicuj oraz i na ich podstawie określ liczbę pierwiastków równania oraz znaki tych pierwiastków.
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Rozwiąż nierówność .
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt . Niech będzie punktem leżącym na wykresie funkcji . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt . Niech będzie punktem leżącym na wykresie funkcji . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych . Niech będzie punktem leżącym na wykresie . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość . Uzasadnij, że wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z prostą .
Funkcja kwadratowa , której miejscami zerowymi są liczby i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość . Uzasadnij, że wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z prostą .
Wykresy funkcji kwadratowych oraz , dla , przecinają się w dwóch punktach. Wyznacz wszystkie wartości , dla których iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn jest o mniejszy od największej wartości funkcji .
Wykres funkcji , określonej dla następującym wzorem
przecina dodatnią półoś w dwóch różnych punktach.
- Oblicz wartość wyrażenia .
- Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych spełniona jest nierówność .
Dla jakich wartości parametru wierzchołek paraboli leży najbliżej prostej ?
Dla jakich wartości parametru wierzchołek paraboli leży najbliżej osi .
Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: , i . Wyznacz współrzędne punktów i .
Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem .
- podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
- podaj zbiór wartości tej funkcji.
- podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji.
- podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem .
- podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
- podaj zbiór wartości tej funkcji.
- podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji.
- podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
Korzystając z wykresów funkcji i rozwiąż nierówność .