Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Wykaż, że istnieje liczba dodatnia a , dla której  2 1 313√2- a + a < 20 .

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x,y ,z spełniona jest nierówność

 ( 1 1 1 ) (x + y + z) -+ --+ -- ≥ 9 x y z

Wykaż, że dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność  2 2 ba-+ ab-≥ a+ b .

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność

 3 3 x--+ y--≥ x2 + y2. y x
*Ukryj

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność

-x-+ y--≥ 1-+ 1. y2 x2 x y

Niech m ,n ∈ R + , udowodnij, że jeżeli m + n = 1 to prawdziwa jest nierówność 1m-+ 1n ≥ 4 .

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności: 0 < a < b < c , to

-----3---- > --2--. 1a + 1b + 1c 1a + 1b

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

--4---≤ 3a-+-2b- 3b + 2a 6

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x ,y prawdziwa jest nierówność  y (x + 1)xy + (y + 1) x > 2 .

Wykaż, że jeżeli a < b ≤ − 2 , to -a3- -b3- 2+a4 > 2+b4 .

Uzasadnij, że funkcja  2 2 f (x) = x + x przyjmuje dla dodatnich argumentów wartości nie mniejsze niż 3.

*Ukryj

Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność a3 + 3a ≥ 4 .

Wykaż, że jeżeli a ≥ b > 0 to

 2 2 a-≥ b--+-3a-. b a2 + 3b2

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a , prawdziwa jest nierówność x+y+aa-+ yx > 2 .

*Ukryj

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a < x , prawdziwa jest nierówność x + y−a-> 2 y x−a .

Wykaż, że dla dowolnej liczby x ≥ 2 prawdziwa jest nierówność  2- 1 1 − x2 ≥ x .

Wykaż, że jeżeli xy > 0 to x y y + x ≥ 2 .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli x > 0 i y > 0 to x+y- -2xy 2 ≥ x+y .

Udowodnij, że jeżeli ab < 0 to a b b + a ≤ − 2 .

Wykaż, że dla każdej liczby a > 0 i dla każdej liczby b > 0 prawdziwa jest nierówność

1+ 1-≥ --4--. a b a+ b

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność  ( ) (x + y) 1 + 1 ≥ 4 x y .

Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to  ( ) (a + b) 1 + 1 ≥ 4 a b .

Wykaż, że jeśli a > 0 , to --2- -a+-2 a+ 2 ≥ a2+4 .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb ujemnych a, b prawdziwa jest nierówność

-1-+ -1-≤ --1--. 4a 4b a+ b

Wykaż, że jeśli a > 0 , to a2+-1 a+1- a+1 ≥ 2 .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

-1-+ -1-≥ --2--. 2a 2b a+ b

Wykaż, że jeżeli a > 0 , to a 1-- -2a- 2 + 2a2 ≥ a3+ 1 .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli a > 1 , to a4+a2+-1 a3−1 2 ≥ a2−1 .

Wykaż, że jeżeli a ⁄= 0 i b ⁄= 0 , to  4 4 a6 b6 a + b ≤ b2 + a2 .

Wykaż, że dla dowolnej liczby m > 0 prawdziwa jest nierówność  3- 1 m + m ≥ 2 .

*Ukryj

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

4x + 1-≥ 4. x

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + 4−x2x≥ 2 .

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + 1−xx--≥ 1 .

Udowodnij, że dla dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

4x + 1-≤ 4. x

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to -a-- --b- 2+a3 < 2+b3 .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to -a-- --b- 3+a4 < 3+b4 .